Mouvement brownien II 📈📈: représentation de Karhunen-Loève

Octobre 2023

Un mouvement brownien est une fonction réelle $B$ sur $[0,1]$ , aléatoire, gaussienne (au sens où toutes les marginales sont conjointement gaussiennes), centrée, et de covariance

\mathbb{E}[B_s B_t] = \min(s,t).

Dans cette précédente note j'ai expliqué comment on pouvait construire un mouvement brownien en s'aidant d'une base orthonormale ; pour résumer, si $(\varphi_n)$ est une base orthonormale de $L^2$ bien choisie et si $(\xi_n)$ est une suite iid de gaussiennes, alors la série

B_t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n \int_0^t \varphi_n(u)\mathrm{d}u

converge uniformément et c'est un mouvement brownien.

Le problème de cette construction, c'est qu'elle ne donne pas la décomposition de $B$ dans cette base ! En effet, même si les fonctions $(\varphi_n)$ forment une base, les fonctions

t\mapsto \int_0^t \varphi_n(u)\mathrm{d}u

n'en forment pas une en général. Pourtant, comme $B$ est une fonction continue et a fortiori $L^2$ , on peut décomposer

B_t = \sum_{n=0}^\infty Y_n \varphi_n(t)

où $Y_n = \langle B, \varphi_n\rangle$ . Le problème est que les $(Y_n)$ ne sont pas iid et que leur calcul nécessite de déterminer les produits scalaires entre $\varphi_n$ et $\int_0^t \varphi_n(s)\mathrm{d}s$ , ce qui n'est pas évident.

On aimerait donc spécifier n'importe quel processus gaussien directement par ses coefficients dans une base orthonormale. C'est ce que fait la décomposition de Karhunen-Loève : étant donnée une fonction de covariance (par exemple (1)), on trouve une base orthonormale adaptée à cette covariance et qui répond au problème. Dans le cas du mouvement brownien cela donne la représentation suivante:

Soit $(\xi_n)$ une suite de gaussiennes standard iid. La série suivante converge au sens $L^2$ vers un mouvement brownien:

B_t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n \frac{\sqrt{2}}{\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi}\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi t\right) .

La construction est en fait valable pour n'importe quelle fonction de covariance $K(s,t)$ ; la base en question et les nombres qui apparaissent dans la somme vont dépendre de $K$ . Ceux ci-dessus sont adaptés à la covariance du brownien, $K(s,t) = s\wedge t$ . Par rapport à la construction de Lévy, on a gagné la vraie décomposition de $B$ dans une base orthonormale ; mais on a perdu la continuité automatique.

Michel Loève (1907 - 1979), d'origine palestitienne, a eu pour directeur de thèse Paul Lévy. Kari Karhunen (1915 - 1992) était finlandais et avait eu Nevanlinna comme directeur de thèse.

Décomposition de Karhunen-Loève

Théorème de Mercer

La clé est le résultat suivant, un pur produit d'analyse fonctionnelle dû à James Mercer en 1909.

On dit qu'une fonction $K : [0,1]^2 \to \mathbb{R}$ est un noyau positif si elle est symétrique, continue, et si pour tous $x_1, \dotsc, x_n \in [0,1]$ la matrice $(K(x_i, x_j))$ est définie positive.

Si $K$ est un noyau positif, il existe une base orthonormale $(e_n)$ de $L^2$ et des nombres positifs $\lambda_n$ tels que $\sum \lambda_n <\infty$ et $K(s,t) = \sum_{n=0}^\infty \lambda_n e_n(x)e_n(y)$ où cette série converge uniformément sur $[0,1]^2$ .

Les $(\lambda_n), (e_n)$ sont les valeurs propres et fonctions propres associées à l'opérateur à noyau $f\mapsto K \star f$ où

K \star f(s) = \int_0^1 K(s,t)f(t){\rm d}t.

Autrement dit, les fonctions propres et valeurs propres se trouvent en résolvant les équations

\lambda_n e_n(t) = \int_0^1 K(s,t)e_n(t){\rm d}t.

J'ai écrit une démonstration dans cette note. L'idée générale simple si l'on connaît un peu de théorie spectrale : l'égalité (6) est vraie au sens $L^2$ et il suffit de lui donner un sens pour tout $x,y$ , ce qui est une conséquence de la continuité de $K$ .

Représentation des processus gaussiens

Soit $K$ un noyau comme dans le théorème ci-dessus. On cherche un processus gaussien centré de covariance $K$ ; on pose

X_t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n \sqrt{\lambda_n} e_n(t)

où les $e_n, \lambda_n$ sont les fonctions propres et valeurs propres de l'opérateur de noyau $K$ comme dans le théorème de Mercer. Cette construction répond au problème; elle s'appelle construction de Karhunen-Loève.

Démonstration. On remarque déjà que $\mathbb{E}\sum \xi_n^2 \lambda_n = \sum \lambda_n < \infty$ , donc la somme est finie presque sûrement et $B$ est bien défini (série absolument convergente dans $L^2$ ). Le fait que $X$ soit centré est évident. Pour la covariance, on a

\mathbb{E}X_t X_s = \sum_{n,m}\sqrt{\lambda_n \lambda_m}\mathbb{E}[\xi_n \xi_m] e_n(s)e_m(t) = \sum \lambda_n e_n(s)e_n(t) = K(s,t).

Cela répond donc au problème.

Évidemment, toute la difficulté consiste à calculer la base qui diagonalise l'opérateur à noyau $f \mapsto K \star f$ .

Calcul dans le cas du brownien

On veut diagonaliser l'opérateur intégral $f\in L^2 \mapsto K \star f$ où

(K\star f)(s)= \int K(s,t)f(t)\mathrm{d}t = \int_0^1 (s\wedge t) f(t){\rm d}t = \int_0^s t f(t){\rm d}t + s\int_s^1 f(t){\rm d}t.

On cherche donc un couple $\lambda \in \mathbb{R}$ , $\phi \in L^2$ tel que $\lambda \phi = K\star \phi$ , c'est-à-dire

\lambda \phi(s) = \int_0^s t \phi(t)dt + s\int_s^1 \phi(t)dt.

Si cette identité est vraie et alors on voit vite que $\phi$ est deux fois dérivable, et en dérivant on obtient

\lambda \phi'(s) = s \phi(s) + \int_s^1 \phi(t)dt - s \phi(s) = \int_s^1 \phi(t)dt

puis en re-dérivant

\lambda \phi''(s) = -\phi(s).

Les solutions $\phi$ sont donc des combinaisons linéaires de $\sin$ et $\cos$ avec fréquence $1/\sqrt{\lambda}$ . On voit aussi que $\lambda$ ne peut pas être nul. Comme manifestement (12) implique que $\phi(0) = 0$ , il n'y a pas de cosinus: $\phi(s) = c \sin(s/\sqrt{\lambda})$ pour une constante $c$ . D'autre part on voit que $\phi'(1) = 0$ soit $\cos(1/\sqrt{\lambda})=0$ et donc $1/\sqrt{\lambda} = 1/2\pi + n\pi$ pour un certain entier $n$ , que l'on peut prendre positif ou nul car le sinus est symétrique. On en déduit que

\phi(s) = c \sin\left(s \pi \left(\frac{1}{2} + n\right)\right)

et on vérifie facilement que $\int_0^1 \sin(s\pi(1/2 + n))^2 {\rm d}s = 1/2$ donc $c = \sqrt{2}$ pour que $\phi$ soit normalisée. On se convaincra facilement que la famille

\left( \sqrt{2}\sin\left(s \pi \left(\frac{1}{2} + n\right)\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}

forme une base orthonormale de $L^2$ qui diagonalise l'opérateur de noyau $K$ , avec les valeurs propres associées

\lambda_n = \frac{1}{\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)\pi\right)^2} \qquad (n\in \mathbb{N}).

La représentation de Karhunen-Loève nous donne donc

B_t = \sum_{n=0}^\infty \xi_n \frac{\sqrt{2}}{\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi}\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi t\right)

où les $(\xi_n)$ sont des gaussiennes standard iid. Cette série converge au sens $L^2$ mais on pourrait vérifier qu'elle converge aussi presque sûrement.

Remarque générale

Le théorème de Sturm-Liouville dit que pour toute fonction continue $Q$ , il existe une base de $L^2$ composée de fonctions $\mathscr{C}^2$ , disons $u_n$ , et des nombres positifs distincts $\lambda_n$ qui tendent vers l'infini, tels que $u_n(0)=u_n(1)=0$ et

-u''_n + Qu_n = \lambda_n u_n.