Le polynôme caractéristique des matrices en grande dimension

Simon Coste - LPSM

Exposé à l’IMJ, le 8 février 2023

Quelques images de spectres de matrices

Matrices gaussiennes denses

A_n : coefficients \mathscr{N}_{\mathbb{R}}(0,1) indépendants.

Matrices binaires

A_n : coefficients \mathrm{Bernoulli}(d/n) indépendants.

Sommes de permutations uniformes

A_n =\pi_1 + \dotsc + \pi_d, somme de d matrices de permutation sur [n].

Sommes de permutations de Ewens

A = \pi_1 + ... + \pi_d où \pi_i suivent la loi \mathrm{ewens}(\theta) :

\mathbf{P}(\pi = \sigma) = \frac{\theta^{\mathrm{cycles(\sigma)}}}{\theta(\theta+1)\dotsb(\theta + n)}

On se restreindra aux matrices

de Bernoulli [C., 2022, EJP]
aux Sommes de permutations uniformes [C, Lambert, Zhu, 2023+]

(les résultats sont identiques dans les deux cas).

F(z) = \exp \left( -\sum_{k=1}^\infty X_k \frac{z^k}{k} \right) = \prod_{k=1}^\infty (1 - z^k)^{Y_k}

La loi de Kesten-McKay orientée

Conjecture. Si \varrho_d = la loi OKMC ([CLZ eq(2.5)] ), alors \frac{1}{n}\log | \det( z - A_n)| \to \int \log | z - w| \varrho_d(w)\mathrm{d}w =: U_d(z)

Fluctuations autour de OKMC

\Phi_n(z) = \log | \det (z - A) | - n U_d(z)

from far away from the above

Non-orthogonalité

couleur du spectre : \mathscr{O}_i = |u_i|^2 |v_i|^2

Délocalisation des vecteurs propres

couleur de chaque valeur propre : \frac{|\varphi|^2_2}{n|\varphi|^4_4}

merci pour l’invitation !

Mon bureau est à 5ème étage à Sophie Germain.