Quelques compléments au cours

Ensemble non mesurable

Un étudiant m'a fait remarquer, ce lundi 12 septembre, que la tribu borélienne de R\mathbb{R} n'est pas égale à l'ensemble des parties de R\mathbb{R}. C'est vrai, et cela implique qu'il y a des parties de R\mathbb{R} qui ne sont pas boréliennes. En fait, il existe même des parties qui ne sont pas dans la tribu de Lebesgue. C'est un grand classique et je ne connais pas d'autre exemple que celui que je vais exposer maintenant.

Pour rappel, la tribu de Lebesgue est la tribu contenant toutes les parties de R\mathbb{R} pour lesquelles la mesure de Lebesgue peut être définie. Elle est un peu plus grosse que la tribu borélienne. On va construire un ensemble qui ne peut pas avoir de mesure de Lebesgue.

On part donc de la mesure de Lebesgue sur R\mathbb{R}, disons λ\lambda. On munit R\mathbb{R} de la relation d'équivalence suivante :

xyxyQ. x \sim y \quad \Leftrightarrow \qquad x - y \in \mathbb{Q}.

On note C\mathscr{C} l'ensemble des classes d'équivalence de cette relation. On choisit exactement un représentant dans chaque classe : disons, pour une classe CC, on choisit un élément xCx \in C que l'on notera dorénavant τ(C)\tau(C). C'est un élément de R\mathbb{R}. En fait, comme chaque classe CC est dense dans R\mathbb{R}, on peut même choisir τ(C)\tau(C) dans [0,1][0,1]. La classe CC peut alors s'écrire C=τ(C)+QC = \tau(C) + \mathbb{Q}. Enfin, on note EE l'ensemble des représentants choisis :

E={τ(C): CC}. E = \{ \tau(C) : C \in \mathscr{C}\}.
Constatation choquante :  l'ensemble EE ne peut pas avoir de mesure de Lebesgue.


Démonstration. On commence par supposer que EE possède une mesure de Lebesgue (c'est-à-dire, qu'il est dans la tribu de Lebesgue), disons λ(E)=a\lambda(E)=a, et on va démontrer par l'absurde que aa ne peut pas être nul et qu'il ne peut pas non plus être non nul.

Commençons donc par supposer a=λ(E)=0a=\lambda(E)=0.

Chaque nombre réel xRx \in \mathbb{R} peut s'écrire de façon unique x=τ+qx = \tau + q, avec τE\tau \in E et qQq \in \mathbb{Q}, autrement dit

R=qQq+E \mathbb{R} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}}q + E

et les ensembles q+Eq+E sont tous disjoints. Si EE était Lebesgue-mesurable, ses translatés q+Eq+E le seraient aussi, et donc en utilisant les axiomes de la mesure de Lebesgue, on aurait la chose suivante : 

λ(R)=qQλ(q+E)=qQλ(E)=0,\lambda(\mathbb{R}) = \sum_{q \in \mathbb{Q}} \lambda(q+E) = \sum_{q \in \mathbb{Q}} \lambda(E) = 0,

ce qui est absurde. Si EE possède donc une mesure de Lebesgue, elle ne peut pas être nulle : λ(E)=a>0\lambda(E) = a >0, éventuellement a=a=\infty.

Comme les éléments de EE sont entre 00 et 11, on voit que

qQ[0,1]q+E[0,2] \bigcup_{q \in \mathbb{Q}\cap [0,1]}q+E \subset [0,2]

ce qui implique, encore par les axiomes de la mesure de Lebesgue, que

qQ[0,1]λ(q+E)λ([0,2])=2.\sum_{q \in \mathbb{Q}\cap [0,1]}\lambda(q+E) \leqslant \lambda([0,2]) = 2.

C'est encore une absurdité, car λ(q+E)=λ(E)=a>0\lambda(q+E) = \lambda(E) = a >0, et donc la somme de gauche est égale à \infty (on rappelle, à toutes fins utiles, qu'il y a une infinité dénombrable de nombres rationnels entre 00 et 11).

Par conséquent, l'ensemble EE ne peut pas avoir de mesure de Lebesgue. Il n'est pas Lebesgue-mesurable.


Max Fathi me dit qu'il y a un théorème disant essentiellement que toute construction d'un ensemble non-Lebesgue-mesurable nécessite l'axiome du choix (que nous avons utilisé ici). Je ne connais pas ce théorème.

Un ensemble équilibré

Le résultat suivant donne l'existence d'ensembles boréliens qui sont un peu partout dans [0,1][0,1], mais pas vraiment partout. Ils seraient parfois appelés « ensembles bien équilibrés ».

Il existe un ensemble A[0,1]A \subset [0,1], borélien, qui vérifie la propriété suivante : pour tout intervalle I]0,1[I\subset ]0,1[,

0<λ(AI)<λ(I), 0 < \lambda(A \cap I) < \lambda(I),

λ\lambda est la mesure de Lebesgue.

L'existence de cet ensemble n'est pas évidente et je propose une construction facile. D'abord, chaque x[0,1]x\in[0,1] peut s'écrire en binaire 0,x1x2x30,x_1x_2x_3\dotscxi{0,1}x_i \in \{0,1\}. On pose

S(x)=n=1(1)xnn. S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{x_n}}{n}.

Il se trouve que

  1. cette fonction est mesurable,

  2. pour λ\lambda-presque tout xx, cette somme est finie,

  3. les ensembles {S>a}\{S>a\} ont bien la propriété demandée, quel que soit aa.

Évidemment, c'est surtout le point 3 qui est difficile à démontrer, ce qu'on considérera donc comme un bon exercice (difficile). Accessoirement, le point 2 peut être vérifié de façon probabiliste : en effet, si xx est une variable aléatoire uniforme sur [0,1][0,1], alors il est facile de voir que xnx_n est une variable de Rademacher (elle prend les valeurs ±1\pm 1 avec probabilité 1/21/2). Il n'est alors plus très difficile de vérifier, par exemple, que SS est une variable aléatoire L2L^2, donc finie presque sûrement.